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Risolvere sistemi di equazioni lineari con OpenCV. La parabola per 3 punti

OpenCV è tra le più importanti e diffuse librerie per Computer Vision e Machine Learning. Inoltre OpenCV comprende alcune funzioni molto utili per l'algebra lineare e il calcolo matriciale. In questo articolo è mostrato come utilizzare la funzione cv::solve per risolvere sistemi di equazioni lineari. Viene mostrato un esempio reale applicato alla equazione della parabola passante per 3 punti.

Sistemi di equazioni lineari con OpenCV

La forma generale di un sistema lineare in m equazioni e n incognite è la seguente:

A x = B

dove

  • A è la matrice dei coefficienti con  n colonne e m righe
  • B è il vettore delle costanti con 1 colonna e m righe
  • x è il vettore delle incognite con 1 colonna e m righe

Lo stesso sistema può essere scritto nella forma matriciale:

Le matrici possono essere dichiarate con OpenCV. Nel caso di 3 equazioni con 3 incognite avremo:

 
// vettore dei coefficienti
cv::Mat A = (cv::Mat_<float>(3,3) <<
                   a11, a12, a13,
                   a21, a22, a23,
                   a31, a32, a33);
// vettore delle costanti
cv::Mat B = (cv::Mat_<float>(3,1) <<
                   b1, 
                   b2,
                   b3);
//vettore delle incognite (risultati)
cv::Mat x;
 

a questo punto la soluzione del sistema con OpenCV è immediata grazie alla funzione cv::solve:

 
cv::solve(A, B, x);
// visualizza il risultato
cout << "Result: " << x << endl;

Un secondo metodo per risolvere un sistema lineare è utilizzare la matrice inversa:

x = A-1 B

anche in questo caso la soluzione con OpenCV è semplice grazie al metodo cv::Mat::inv :

 
cv::Mat xinv = A.inv() * B;
// visualizza il risultato
cout << "Result: " << xinv << endl;

Fatto !

Il caso della parabola per 3 punti noti

Una parabola per 3 punti

Prendiamo un caso pratico. Si vuole calcolare l'equazione della parabola passante per 3 punti noti.

La forma generale per l'equazione della parabola è la seguente:

L'insieme delle parabole che passa per il punto  P1(x1, y1) è semplicemente:

La parabola che passa per 3 punti noti  P1(x1, y1), P2(x2, y2), P3(x3, y3) è data dalla soluzione del seguente sistema:

E' questo un sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite ? Certamente !

Di seguito utilizziamo la tecnica descritta sopra per risolvere il sistema e calcolare i valori per i coefficienti a, b, c che rappresentano ora le incognite

Nel sistema lineare i coefficienti sono dati dai 3 punti  “x, y” mentre le incognite sono i coefficienti della parabola a, b, c

Scriviamo il sistema nella forma matriciale:

  1. Dati i 3 punti  P1(1, 0), P2(0, 2) e P3(3, 2)  dichiariamo le matrici con OpenCV
     
      // i 3 punti della parabola
      pt1 = cv::Point2f(1,0);
      pt2 = cv::Point2f(0,2);
      pt3 = cv::Point2f(3,2);
     
      cv::Mat A = (cv::Mat_<float>(3, 3) <<
          std::pow(pt1.x, 2), pt1.x, 1,
          std::pow(pt2.x, 2), pt2.x, 1,
          std::pow(pt3.x, 2), pt3.x, 1);
     
      cv::Mat B = (cv::Mat_<float>(3, 1) <<
          pt1.y,
          pt2.y,
          pt3.y);
     
     // il vettore dei risultati
      cv::Mat abc;
  2. Risolvo il sistema:
     
    cv::solve(A, B, abc);
  3. Visualizzo il risultato
     
    cout << "Coefficienti:" << endl << abc << endl;
    mostra:
    Coefficients:
    [1;
    -3;
    2]
  4. Visualizzo l'equazione della parabola trovata:
     
      a = abc.at<float>(0);
      b = abc.at<float>(1);
      c = abc.at<float>(2);
      cout << "Equazione: y = " << a << "x^2 + " << b << "x + " << c;
    ritorna:
    Equazione: y = 1x^2 + -3x + 2

Questo è tutto. La libreria OpenCV è fantastica.

Il codice completo per il caso della parabola per 3 punti

 
#include <opencv2\core.hpp>
using namespace std;
 
int main(int argc, char *argv[])
{
    cv::Point2f pt1, pt2, pt3; ///< i 3 points della parabola
    double a, b, c;            ///< i coefficienti della parabola trovati 
 
    // imposto i 3 punti della parabola
    pt1 = cv::Point2f(1, 0);
    pt2 = cv::Point2f(0, 2);
    pt3 = cv::Point2f(3, 2);
 
    // OpenCV requires the linear system in the form Ax = B
    //
    // the linear system for 3points parabola is
    //
    // aX^2 + bX + c = Y ---> | a(pt1.x)^2 + b(pt1.x) + c(1) = pt1.y |
    //                        | a(pt2.x)^2 + b(pt2.x) + c(1) = pt2.y |
    //                        | a(pt3.x)^2 + b(pt3.x) + c(1) = pt3.y |
    // coefficients for the system are the 3 points
    // variables for the system are the parabola coefficient a,b,c
    //
    // Finally set the matrix for the linear system solver
    cv::Mat A = (cv::Mat_<float>(3, 3) <<
        std::pow(pt1.x, 2), pt1.x, 1,
        std::pow(pt2.x, 2), pt2.x, 1,
        std::pow(pt3.x, 2), pt3.x, 1);
 
    cv::Mat B = (cv::Mat_<float>(3, 1) <<
        pt1.y,
        pt2.y,
        pt3.y);
 
    // declare a vector for results
    cv::Mat abc;
 
    // solve the linear system
    cv::solve(A, B, abc);
 
    // printout the result
    cout << "Coefficients:\n " << abc << endl;
    a = abc.at<float>(0);
    b = abc.at<float>(1);
    c = abc.at<float>(2);
    cout << "Equation:\n y = " << a << "x^2 + " << b << "x + " << c << endl;
 
    return 0;
}
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2 Commenti:

#1 Inviato da androidusr 29-04-2014

rally easy ...opencv it's fantastic!

#2 Inviato da asd 01-06-2017

\"x is the vector of variables with 1 col and m rows\" should be n rows

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