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Dinamica e regolazione del livello in un serbatoio

Sommario

    Automazione
    1. Sistema Vite-Madrevite
    2. Esecitazioni di Tecnologie dei sistemi di controllo
    3. Dinamica e regolazione del livello in un serbatoio
    4. Modello dello scambiatore di calore
    5. Modello di un miscelatore a convezione
    6. Livello & Temperatura

    Modello analitico dettagliato di un serbatoio con valvola lineare servoassistita sulla portata di uscita.

     

    Fig. 1 Serbatoio d’acqua con valvola in uscita (atmosfera).

     

    Modello del serbatoio

    Scrivendo l’equazione per la conservazione delle masse si ha:

    dove:

    ρ : densita dell’acqua

    A: sezione del serbatoio

    l: livello dell’acqua

    we,wu: rispettivamente portata entrante e portata uscente

    • Siamo di fronte ad un tipico fenomeno di accumulo. Il livello infatti integra la portata
    • Il modello e’ chiaramente lineare

    Modello della valvola con caratteristica lineare

     

    dove:

     

    p: pressione del liquido in ingresso

    x: posizione dello stelo

    woo,xo:costanti di normalizzazione

    • In questo sistema l’ingresso p e l’uscita wu sono legate da una relazione algebrica che non dipende dal tempo. Nel sistema non c’e’ dinamica quindi si dice algebrico
    • Il Sistema e’ non lineare dato che la variabile d’uscita wu dipende dalla radice quadrata della variabile d’ingresso p

    Modello del Serbatoio + valvola

    Nel caso in cui la valvola e’ collegata al fondo del serbatio si ha che la pressione all’ingresso dell valvola e’ pari alla pressione di fondo del serbatoio. Quindi

    p = ρ g l (g: accellerazione di gravita)

     sostituendo:

    e ponendo:

     si ha:

    Ora possiamo scrivere le equazioni del modello completo:

    Il sistema serbatoio+valvola e’ dunque un sistema del primo ordine perche’ esiste solo una derivata prima ed e’ non lineare perche’ le varibili di ingresso ed uscita sono legate da una relazione di radice che e’ un operatore non lineare.

    Linearizzazione del sistema

    La non linearita’ e’ data dalla relazione che lega la portata di uscita Wu al livello l.

    In sostanza la variazione di livello Δ l che si ha con una variazione dell’apertura della valvola Δ x dipende dal valore di Wu al momento in cui viene impressa la variazione allo stelo (cosi’ dicasi per le altre variabili).

    Per rendere lineare il sistema cosideriamo un punto di equilibrio ed approssimiamo il sistema con uno simile ma lineare.

    L’approssimazione piu’ semplice che possiamo fare e’ quella di considerare la tangente al sistema nel punto di lavoro, cioe’ approssimiamo in sistema con una retta passante per il punto di lavoro ed avente pendenza paria alla derivata del sistema in quel punto

    Analiticamente il primo passo da fare e’ determinare il puntodi equilibrio, cioe’ il livello costante: 

     

     

     Considero ora solo le differenze rispetto ai valori di regime:

     

    Ora andiamo a sostituire alle relazioni non lineari le corrispondenti derivate prime calcolate nel puno di regime e considerando solo le variazioni rispetto a questo.

     

    L’equazione di stato del serbatorio e’ gia’ lineare pertanto sostiuiamo solo le variabili con le rispettive variazioni:

    Lequazione della valvola e’ non lineare quindi dobbiamo estrarne la derivata. Siccome e’ una funzione di tre variabili Wu,x,l e’ necessario ricorrere alle derivate parziali:

     

     

    per semplicita’ estraiamo il logaritmo della relazione

     

     

    derivando rispetto alle singole variabili si ha:

     

     

    trasformado secondo Laplace le equazioni dele serbatoio e della valvola si ha:

     

     

    ponendo:

     

     

    ed eliminando Δ wu si ottiene:

     

     

    e sostituendo

     

     

    si ottiene:

     

     

    Che e’ la funzione di trasferimento del livello rispetto la portata di ingresso e la posizione dello stelo della valvola.

    Vediamo lo schema a blocchi che se consegue:

    Fig. 2 Modello Simulink linearizzato di un serbatoio d’acqua con valvola in uscita

    Come e’ stato messo in evidenza i parametri del sistema linearizzato dipendono dai valori di equilibrio di livello l,posizione stelo x e portata w. Per simulare il sistema e’ dunque necessario fissare il punto di equlibrio e determinare i parametri che ne conseguono.

    Dati di equilibrio:

    Fissiamo ad esempio il livello e la posizione dello stelo. e calcoliamo la portata di equilibrio

      

     Parametri di equilibrio:

     

     

     ricordo che

     

    ρ 0 = 1000 p0= 1.e+5 w0 = 100;

     

     sono costanti di normalizzazione. Inoltre e’ stato considerato:

    g = 9.80652m/s2 A = 1m2 ρ =ρ 0

    Dati per la simulazione (File DSERBVAL.M)

    %Costanti di normalizzazione
    
    ro0 = 1000; %densita' assoluta del'acqua
    p0 = 1.e+5;
    w0 = 100;
    x0 = 1;
    g = 9.80652;
    
    %costanti tipiche del processo    
    ro=ro0; %densita' relativa del liquido 
    A = 1;  %area del serbatoio 
    gam=w0/(x0*sqrt(p0*ro0))*sqrt(g)/A;
    
    %definizione del punto di lavoro 
    leq=2; 
    xeq=0.5; 
    weq=gam*ro*A*xeq*sqrt(leq);
    
    %calcolo dei parametri caratteristici della dinamica del sistema 
    mu1=-2*leq/xeq; 
    mu2=2*leq/weq; 
    tau=2*leq/weq*ro*A;
    
    %definizione dei gradini di ingresso
    %DX e DWe vanno definiti da Matlab digitanto 
    %> DX = n 
    %> DWe = m 
    % 
    % Dove n ed m sono le rispettive variazioni dello stelo della valvola e della portata di ingresso
    

    Modello non linearizzato

    Possiamo costruire il modello simulnk del sistema reale a partire dalle relazioni:

     

     

    Fig. 3 Modello Simulink di un serbatoio d’acqua con valvola in uscita

    Fig. 4 Confronto tra il modello linearizzato e il modello reale

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