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Level&Temp: Modello del sistema

Table of Contents

    Level & Temp
    1. Level&Temp: Descrizione dell'impianto
    2. Level&Temp: Modello del sistema
    3. Level&Temp: Identificazione dell'impianto
    4. Level&Temp: Progetto del regolatore di livello
    5. Level&Temp: Frequently Asked Questions
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    Modello di un serbatoio con riscaldatore pompa in fluido in entrata e valvola in uscita. Dinamica di livello e temperatura.

    Fig. (3) - modello del sistema

    Parametri del sistema

    Wi, Wo = portata massica impressa (pompe volumetriche 0..0.14 Kg/s)
    Pe = potenza elettrica del riscaldatore (J/s)
    A = area del serbatoio (0,0625 m2)
    T = temp. liquido nel serbatoio (30 °C)
    Ti= temp. liquido entrante (20 °C)

    Costanti fisiche

    ρ= densità del liquido (1000 kg/m3)per l'acqua)
    h = entalpia del liquido
    cp = calore specifico (4186 J/Kg °C per l'acqua)
    si assume trascurabile lo scambio termico con l'esterno

    Equazioni

    (1)

    essendo

    E = ρA l cp T

    hi = cp Ti

    h = cp T

    dalla seconda equazione si ottiene

    (2)

    Da cui otteniamo il modello dato dalle 1 e dalla 2 dove l e T sono le variabili di stato

    OSSERVAZIONI: Il modello è NON lineare perchè esiste una relazione NON lineare tra le variabili di stato. Infatti la equazione (2) contiene il prodotto tra l e T

     

    Linearizzazione

     

    Con la linearizzazione si trasforma un processo non lineare in uno lineare in modo da poter applicare le trasformate di Laplace. Questo metodo permette ottenere un sistema lineare simile a quello reale a cui è possibile applicare tutte le proprietà delle trasformate di Laplace.

    Per linearizzare un sistema è necessario calcolare un suo punto di equilibrio e calcolarne la derivata in quel punto,

    La linearizzazione ha validità solo per piccole variazioni delle variabili di ingresso. Grandi variazioni portano il sistema "lontano" dal punto di equilibrio dove la derivata del sistema non approssima più il sistema stesso quindi la linearizzazione non è più valida.

    Si definisca un punto di equilibrio del sistema

    il sistema linearizzato prende in esame le variazioni rispetto a tale punto.

    Il passo successivo è quello di calcolare la funzione derivata del sistema nel punto considerato. La relativa difficoltà di questo passaggio è dovuta al fatto che praticamente sempre si tratta di sistemi con funzioni a più variabili pertanto è necessario ricorrere alle derivate parziali.

    In generale ricordo che data una funzione f delle variabili x,y,z la sua derivata nel punto xeq ,yeq ,zeq vale:

    f (x,y,z) = 0 =>

    da cui si possono calcolare le variazioni della funzione derivata:

    Calcolo del punto di equilibrio (regime)

    è importante e ovvio che i parametri non possono essere casuali ma devono essere calcolati. Precisamente è possibile fissare arbitrariamente solo 4 dei 5 valori ed è necessario calcolare il quinto con la relazione

    Il calcolo della condizione di regime si ottiene imponendo nulle le variazioni di stato del sistema, quindi:

    Per quanto riguarda il livello è ovvio che il regime si ha SEMPRE quando la portata entrante e quella uscente sono equivalenti, quindi:.

    Per la temperatura consideriamo la equazione 2 dove dE/dt = 0 e si ottiene:

    quindi fissati Pe, W e Ti, T viene calcolato di conseguenza

    NOTA: questa relazione, da cui seguono le successive, è valida solo per Weq>0 . Infatti si è imposto dE/dt = 0 quindi se non c'è un liquido entrante più freddo ed uno uscente più caldo l'unico modo per NON avere variazioni di energia termica è di avere anche Pe = 0. Questo caso non è significativo ai fini dello studio del presente modello, comunque se si volesse studiare il sistema considerando solo il processo termico si può ripartire dalla equazione 2 che diventerebbe

    => con τ= ρA cp l

    come si nota i termini legati alle portate sono scomparsi visto che Wi e Wo sono nulle, di conseguenza il livello diventa costante e quindi non è più derivato cosi' il sistema diventa un semplice integratore della potenza elettrica a meno di una costante che dipende dalla massa del liquido M=ρA l e dal calore specifico cp

    Equazioni linearizzate (derivate parziali)

    la prima equazione del modello è già lineare pertanto si può semplicemente afre un a sostituzione di variabili

    la seconda equazione va derivata rispetto a tutte le variabili quindi:

    sostituendo la prima equazione nella seconda si ottiene

     

    Il segno del guadagno con cui interviene ΔWi dipende da Ti -T. Se Ti > T allora la temperatura del liquido entrante è maggiore quindi aumenta la temperatura del liquido nel serbatoio

    Trasformando e raccogliendo si ottiene:

    Fig. (4) - modello simulink (lt.m)

    File di dati (dati.m)

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