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Level&Temp: Progetto del regolatore di livello

Table of Contents

    Level & Temp
    1. Level&Temp: Descrizione dell'impianto
    2. Level&Temp: Modello del sistema
    3. Level&Temp: Identificazione dell'impianto
    4. Level&Temp: Progetto del regolatore di livello
    5. Level&Temp: Frequently Asked Questions
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    Progetto del regolatore di livello per un serbatoio con riscaldatore pompa in fluido in entrata e valvola in uscita.

    Consideriamo i due processi separatamente visto che la dinamica del livello è di gran lunga più veloce della temperatura e per il livello partiamo dallo schema che segue.

    Come è ovvio la portata è la variabile di controllo mentre il livello è la variabile controllata.

    Una considerazione va fatta a proposito del guadagno sul set-point. Questo è necessario per calcolare l'errore dato che dal trasduttore di livello esce un segnale in tensione e non un valore in metri come viene fornito il set-point. In pratica nella realizzazione reale del sistema è sempre necessario moltiplicare il set-point per il guadagno del trasduttore in modo da effettuare la necessaria conversione di unità di misura e scala.

    Schema sistema controllato

    Fig. (7) - Schema del sistema controllato

    Ai fini del progetto possiamo semplificare lo schema portando la F.d.T del trasduttore a valle del nodo sommatore inoltre, ricordando che T(s) in questo caso è un guadagno variabile Kl che dipende dal livello, imponiamo T(s)=Kleq cioè il valore di Kl calcolato al livello di equilibrio

    Fig. (8) - Sistema Livello con regolatore (ltrl.m)

    A questo punto il calcolo del regolatore è realmente molto semplice e può essere effettuato con uno dei metodi classici.

    Normalmente nei sistemi linearizzati si cerca di mantenere il punto di equilibrio questo vuol dire che spesso viene privilegiata la capacità di reagire ai disturbi piuttosto che di raggiungere il set point (o equilibrio). Procediamo con il progetto partendo da delle specifiche realistiche:

    • Massima velocità di risposta alla eliminazione dei disturbi
    • errore nullo a transitorio esaurito
    • minima sovraelongazione

    Esaminiamo la F.d.T. d'anello

    NOTA: da quest'ultima relazione si può notare l'influenza del guadagno variabile Kl del sensore di livello. Infatti il guadagno della funzione d'anello dipende anche da Kl con la conseguenza che al variare Kl cambia il guadagno K e quindi la pulsazione critica e margine di fase del sistema.

    Si pensa di utilizzare un regolatore di tipo PI quindi vale

     

    Che corrisponde a un PI con Kp = KrL*TiL e Ti=TiL

     

    I due parametri del KrL e TiL si possono impostare in modo da avere un'alta pulsazione critica con un buon margine di fase (almeno 70°) cosi' da considerare lo sfasamento dovuto al guadagno variabile del trasduttore di livello e l'implementazione digitale del regolatore.

    Fig. (9) - Diagrammi di Bode della funzione K/s -j m = 90° e wc @ 0.01 rad/sec. Al variare di K il diagramma del modulo si sposta lungo l'asse dei DB mantenendo la sua pendenza cambiando la pulsazione critica

    Avendo inserito un ulteriore polo nell'origine si ha uno sfasamento iniziale di 180° quindi possiamo inserire uno zero in bassa frequenza cosi' da recuperare 90° sulla fase e tagliare l'asse a 0dB con pendenza -1 successivamente impostiamo il guadagno del regolatore per ottenere la pulsazione critica wc e margine di fase j m desiderati.

    Fig. (10) - Diagrammi di Bode di L(s)=K*Kr*(1+sTi)/s2 con Kr=0.03 e Ti=1000

    Con questi parametri si ha j m = 90° e wc @ 0.2 rad/sec

    Come può sembrare dai diagrammi di Bode è possibile aumentare la pulsazione critica a piacere pur lasciando invariato il margine di fase. In realtà non è mai possibile aumentare la velocità di risposta del processo controllato troppo al di la del processo in anello aperto perchè:

    • Se il processo controllato ha tempi di salita molto più rapidi del processo non controllato, risulterà che l'azione di controllo è molto forzata, cioè si avrà bisogno di applicare variazioni del controllo molto grandi e di tipo impulsivo
    • Se il modello del processo contiene costati di tempo nell'ordine delle decine o centinaia di secondi (cioè il processo è lento) raramente si può estendere la sua validità anche a pulsazioni dell'ordine della decina di radianti con la conseguente perdita di robustezza

    Per valutare la qualità del progetto è necessario verificare la rispondenza con i requisiti specificati.

    Risposta ai disturbi

    Si impone un disturbo impulsivo di 50s pari al 20% della portata di equilibrio lasciando invariato il set-point

    Come riferimento calcoliamo quanto si alzerebbe il livello nel serbatoio se non ci fosse il regolatore

     

    A fronte dell'impulso indicato il livello del serbatoio crescerebbe definitivamente di 11.4mm. Si verifica ora la risposta del sistema regolato.

    Come si può notare il livello si alza di meno di 1mm e torna rapidamente al valore di equilibrio. Inoltre si osserva che la variabile di controllo ha un andamento smorzato e il suo valore massimo è ben al di sotto del valore di saturazione che ricordiamo e 10V. Il regolatore soddisfa in pieno le specifiche richieste e potrebbe essere accelerato ulteriormente.

    Si analizza ora la risposta al gradino sul set-point pari al 10% del valore di equilibrio:

    non si osservano oscillazioni e si ha errore nullo tuttavia la variabile di controllo supera del doppio il valore massimo ammesso. Questo vuol dire che il regolatore accelera troppo l'impianto rispetto a quanto l'impianto può eseguire.


    A questo punto possiamo rallentare il processo diminuendo il guadagno del regolatore KrL tuttavia questa azione porterebbe ad un ulteriore rallentamento nella compensazione del disturbo che è l'oggetto principale del progetto.

    Una scelta ragionevole può essere quella di mantenere il regolatore come progettato e saturare l'uscita al valore massimo ammesso dall'attuatore. Questo permette di mantenere la velocità sulla compensazione dei disturbi e preservare gli attuatori in caso di controllo sul set-point.


    Questa scelta implica comunque una modifica al regolatore, infatti quando il regolatore lavora in saturazione si verifica il fenomeno della carica integrale causato dalla apertura dell'anello in condizioni di saturazione. � necessario quindi utilizzare lo schema anti wind-up:

    Esercizio 1: verificare la qualità del controllo utilizzando lo schema di fig. 7 in cui è presente il guadagno del trasduttore di livello in ingresso al set-point mentre il trasduttore fornisce la misura con guadagno variabile dato dalla look-up table.

    Esercizio 2: costruire il modello per la regolazione della temperatura e progettare il relativo regolatore

     

    Cenni sulla realizzazione digitale

     

    Si opera la discretizzazione della funzione R(s) in R(z) e si determina l'algoritmo di controllo.

    Applichiamo la trasformazione di Eulero all'indietro


    con Tc = tempo di campionamento

    Sviluppando i calcoli sfruttando le proprietà dell'operatore z si ottiene:

    Che è la forma incrementale del regolatore PI dove U(k) e e(k) sono rispettivamente il valore del controllo e dell'errore all'istante k.

    Rimane da determinare periodo di campionamento Tc che ricordiamo deve valere 1/Tc > 2 wc con wc la massima pulsazione del segnale da campionare che nel nostro caso corrisponde alla banda passante della funzione d'anello

    Nella discretizzazione va anche considerato lo sfasamento introdotto dal ritardo di campionamento pari a Dt=1.5Tc con una conseguente riduzione del margine di fase pari a Dfm= -wc * Dt

    � necessario verificare che il margine di fase risultante della funzione d'anello sia soddisfacente con i requisiti del controllo.

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