Modello

In ingresso si hanno due liquidi, ciascuno con propria portata w_i ed entalpia:

c_p: calore specifico

siano  costanti.

Per agitazione, all’interno del miscelatore abbiamo temperatura uniforme (quindi anche sul fondo) ed entalpia:

Il contenitore è metallico ed isolato termicamente verso l’esterno, non si hanno dunque dispersioni di calore.

Per ricavere il modello del sistema seguiremo i seguenti passi:

1. determinazione delle equazioni di conservazione
2. identificazione delle variabili di stato
3. determinazione delle equazioni di conservazione in termini delle variabili di stato

Determinazione delle equazioni di conservazione

Conservazione della massa di liquido:

M: massa del liquido

Conservazione dell’energia nel liquido:

E: energia nel liquido

Q_E: potenza termica scambiata con le pareti metalliche

Conservazione dell’energia nel metallo:

E_m: energia nel metallo

non avendo variazioni nella massa del metallo non è necessario scrivere il bilanco della bassa per il contenitore.

Identificazione delle variabili di stato

Esprimiamo ora M, E, E_m in funzione della variabili di stato, che sono:

M = r A_S l

r: densità del liquido

A_S :area della sezione del miscelatore

E = M c_p T_u= r A_S  l c_p Tu

E_m = M_m c_m T_m

M_m:massa del metallo

c_m:calore specifico del metallo

Q_e = g A (T_m - T_u)

g:coefficiente di scambio termico metallo-liquido

A: superficie di scambio termico metallo-liquido

Determinazione delle equazioni di conservazione in termini delle variabili di stato

Sostituendo ora le espressioni di M, E, E_m nelle equazioni differenziali otteniamo

A causa dei prodotti T_ul e w_uT_u il sistema trovato è NON LINEARE, è dunque necessario linearizzare attorno ad una condizione di regime:

I prodotti che provocano non linearità sono legati alla variazione di energia del liquido (infatti sono presenti entrambi nella seconda equazione del sistema che è proprio l’espressione della variazione dell’energia del liqudo) quindi la condizione di equilibrio è quella in cui non si ha variazione di detta energia:

1.    portata entrante uquale a quella uscente -> livello costante (dl/dt=0)

2.    temperatura del metallo pari a quella del liquido -> pari a quella di uscita

avendo indicato con le grandezze soprasegnate i valori all’equilibrio, linearizziamo il sistema prima determinato rispetto a questi valori:

da cui otteniamo le trasformate di Laplace:

E’ importante conoscere i legami tra gli ingressi DW₁, DW₂, DW_u, e le variabili DL e DTu. La temperatura del metallo non è una grandezza di controllo pertanto posso eleiminare DTm, per cui si ottiene:

dove:

: tempo di svuotamento del serbatoio

:prodotto tra capacità termica del metallo e resistenza al flusso termico

Dati per la simulazione:

%Dati fisici
ro=1000.0;
cp=4200.0;
cm=680.0;
gam=1000.0;

%dati geometrici
As=1.0;
A=5.0;
Mm=2000.0;

%dati di equilibrio
leq=1.0;
T1=80.0;
T2=15.0;
w1=2.0;
w2=28.0;
wu=w1+w2;
T=(T1*w1 + T2*w2)/wu;

%costanti di tempo
taum = cm * Mm /(gam * A);
tau = ro * As * leq / wu;
k = gam * A/ (cp * taum);

Modello del miscelatore linearizzato(File:miscnvli.mdl):

Risposte allo scalino unitario delle portate entranti: